La recherche de régularités
Une des activités du mathématicien consiste à dégager des régularités à partir de plusieurs situations. Elles vont l’aider à trouver des formules qui donnent une image générale de la situation. On est ici dans une démarche d’induction.
Ces formules vont s’exprimer à l’aide d’expressions littérales, c’est-à-dire de lettres qui auront un sens lié au type de la situation observée.
Une fois la formule trouvée, il faudra la vérifier, d’abord sur de nouveaux exemples, puis de façon plus rigoureuse à l’aide d’un raisonnement, d’une démonstration.
Quelques exemples
Voici quelques exemples simples de suites de nombres :
Comptons des objets : 1, 2, 3, 4, ……. : cette suite, nous la connaissons tous et l’utilisons depuis notre plus jeune âge ! A ce stade, cela n’a pas beaucoup de sens de compter 0 objet !
Imaginons maintenant des sauts de deux en deux.
Cette fois, 0 serait notre point de départ et les cases atteintes seraient : 2, 4, 6, 8, 10, ….
Nous retrouvons les nombres pairs (divisibles par deux).
Un terme de la suite peut s’exprimer sous la forme 2 fois n, ce qu’on écrit en abrégé 2n.
Pour passer d’un terme (nombre) de la suite, on ajoute toujours la même quantité 2. Les mathématiciens parlent alors de suite ou progression arithmétique.
Remarquons au passage que 0 est bien un nombre pair, même si nous avons choisi de faire démarrer la suite avec 2 (ce qui facilite l’expression générale 2n pour le terme d’ordre n de la suite)
On peut faire la même chose avec des bonds de 5, et obtenir 5, 10, 15, …, 5n, …
On obtient les multiples de 5 et on a une suite arithmétique de raison 5 (ce qui signifie qu’on ajoute toujours 5)
Et maintenant, imaginons des carrés de plus en plus grands, et intéressons-nous à leur aire. On obtient 1, 4, 9, 16, 25, …., n.n, …….
Pour passer d’un terme au suivant, on ajoute chaque fois un nombre impair (3, 5, 7, 9, ….). Les nombres de cette suite augmentent plus rapidement.
Avec des cubes, cela donne 1, 8, 27, 64, …. ,n^3, ….
L’augmentation est encore plus rapide.
Voici une suite très célèbre en mathématique : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. . Chaque terme est l’addition des deux termes précédents : c’est la suite de Finonacci. Le rapport entre deux termes successifs tend vers un nombre appelé nombre d’or. (Une superbe vidéo Nature by numbers en montre de superbes illustrations dans la nature).
Voici dernier exemple, le plus impressionnant : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …, 2^n, .. Pour passer d’un terme au suivant, on multiplie toujours pas le même nombre 2. Les mathématiciens parlent de progression géométrique de raison 2. Cette suite est aussi dite exponentielle. Elle croît particulièrement rapidement.
Pour visualiser ces différents exemples, voici un petit fichier Excel qui reprend les 30 premières valeurs numériques de ces suites, et un graphique qui n’en reprend que les premières valeurs, pour plus de lisibilité.
Une remarque importante
Parfois, trouver le terme général d’une suite est plus difficile, ou il peut exister plusieurs plusieurs façons de l’aborder. Par exemple, la suite 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89 pourrait se compléter notamment
- par 100, 111, 122 en ajoutant chaque fois 11 au terme précédent
- par 90, 01, 12, 23, …. en passant chaque fois au deux chiffres suivants
Il sera donc important de préciser son raisonnement, ou de vérifier s’il s’adapte à la situation concrète étudiée.
Quelques idées d’activités à distance
- Compter « à partir de », compter « à l’envers », pour les plus jeunes
- Compter par 2, par 3, ….par 10, par 25, ….
- Faire créer des suites de nombres, et expliquer (ou faire trouver) comment on les a construites.
- Voici le nombre de pièces d’un domino classique, selon le nombre de symboles utilisés : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28. Un domino classique (nombres de 0 à 6) a donc 28 pièces. Combien de pièces a un domino « double 9 » où les nombres vont de 0 à 9 ? Pourquoi ?
- Dans un polygone, les diagonales sont des segments joignant deux sommets non consécutifs d’un polygone. Il y a deux diagonales dans un quadrilatère. Combien y en a-t-il pour un pentagone ? pour un octogone ? Pour un polygone à n côtés (n > 3) ? Comment l’expliquer ?
- Pour construire un jeu de Dobble, chaque carte doit avoir un seul symbole commun avec chaque autre carte. Construire un Dobble avec 2 symboles sur chaque carte, avec 3 symboles, …. Combien devrait de cartes devrait comporter le jeu classique s’il était complet ? Bonne recherche !