Introduction
Utilisées chaque jour de façon explicite dans des recettes de cuisine ou implicitement dans des représentations à l’échelle (agrandissements ou réductions), les proportions (directes) constituent un casse-tête pour beaucoup, mais sont une étape importante, voire essentielle dans l’apprentissage des mathématiques.
Repérer des situations de proportionnalité (directe)
Dans la vie quotidienne, on compare souvent l’évolution de choses différentes, qui peuvent être des grandeurs. Les observations peuvent être très variées !
Par exemple, si je veux préparer une recette pour trois fois plus de personnes, je vais utiliser trois fois plus de chaque ingrédient.
Si on se met à plusieurs pour effectuer un travail, on devrait mettre moins de temps pour le faire !
Si on veut construire un carré dont le côté est deux fois plus grand que celui d’un carré donné, l’aire n’est pas deux fois plus grande. Et si on construit un cube dont l’arête est deux fois plus grande que celle d’un cube donné, le volume n’est pas deux fois plus grand.
Quand on achète en plus grande quantité un produit, on a parfois une réduction, cela vaut dire que le prix à l’unité de ce produit est moins cher, mais est-ce toujours le cas ?
On parlera de grandeurs directement proportionnelles lorsqu’elles évoluent de la même façon : si l’une est doublée (ou plus généralement multipliée par n’importe quel nombre non nul), l’autre est aussi doublée (ou plus généralement multipliée par le même nombre).
Quelques exemples de calcul
Dans certains cas, les calculs sont très simples. Par exemple, une pièce Lego ou Duplo trois fois plus longue qu’une pièce 2×2 est de dimension 6×2. Si une tablette de chocolat a 12 morceaux, quatre tablettes ont en tout 48 morceaux. Il suffit de multiplier par le même nombre pour obtenir la réponse.
Dans d’autres cas, on passe par l’unité pour trouver la réponse.
Par exemple, si 4 boîtes de sauce coûtent 1,20 €, pour trouver rapidement le prix de 9 boîtes, on calcule le prix d’une boîte en divisant par 4 (ce qui donne 0,30 €) et on revient à la situation précédente : il suffit de multiplier par 9 pour avoir la réponse (ce qui donne 2,70 €).
Avec une calculatrice, cette méthode fonctionne toujours, mais est parfois lourde en calculs. On peut aller plus vite (surtout quand on calcule mentalement !!) si les deux nombres ont un diviseur commun, de préférence le plus grand possible.
Par exemple, si on reprend nos 4 boîtes, mais qu’on cherche cette fois le prix de 6 boîtes, on ira plus vite en cherchant le prix de 2 boîtes (2 est le plus grand diviseur commun à 4 et 6), ce qui donne ici 0,60 €, et en multipliant ensuite par 3 pour obtenir le prix de 6 boîtes, ce qui donne ici 1,80 €.
Remarquons qu’on pourrait aller encore plus vite en remarquant directement qu’on multiplie par 1,5 (6 : 4) pour passer de 4 à 6, et qu’il suffit donc de multiplier le prix de 4 boîtes par 1,5 pour obtenir le prix de 6 boîtes.
Dans chaque situation, on a multiplié ou divisé : ces opérations sont caractéristiques de la proportionnalité.
Des situations de proportionnalité inverse
Il existe des situations où si l’un des grandeurs est doublée (ou plus généralement multipliée par n’importe quel nombre non nul), l’autre est cette fois divisée par deux (ou plus généralement divisée par le même nombre). On parlera alors de grandeurs inversement proportionnelles.
Par exemple, si je vais deux fois plus vite pour effectuer un trajet, je mettrai deux fois moins longtemps. Si on a préparé une pizza et qu’il y a trois fois plus de convives, chacun recevra trois fois moins (sauf si la pizza était trop grande pour le nombre initial de convives !!).
Quelques idées d’activités, à différents niveaux
- Pour les plus jeunes, prévoir combien il faudra de matériel / ingrédients / nourriture si on est 2 (ou 3 ou …) fois plus, si on est 2 (ou 3 ou …) fois moins.
- Exploiter les comparaisons de la vie quotidienne pour mettre en évidence des situations directement proportionnelles et celles qui ne le sont pas. Si mon frère est deux fois plus âgé, il n’est pourtant pas deux fois plus grand !
- Comparer différents conditionnements d’un produit pour voir lequel est le plus intéressant : il y a parfois des surprises !
- Repérer les erreurs dans le document à télécharger (voir plus bas)
- Résoudre les défis et lire les articles dans ce document de ce site
- Reconnaître et corriger l’erreur dans la vidéo https://www.youtube.com/watch?v=pqKA1MqPA_U