Eléments essentiels d’un classement
Organiser les concepts est une activité importante du scientifique en général, et du mathématicien en particulier.
Dans des situations simples, il suffit parfois de trier, c’est-à-dire de distinguer deux catégories d’objets : ceux qui possèdent une propriété et ceux qui ne la possèdent pas.
Quelques exemples à travers la scolarité : les blocs jaunes et les blocs « non jaunes », les triangles et les « non triangles », les polygones et les « non polygones », les solides convexes et les solides non convexes, …
Bien souvent, il faudra pousser la distinction plus loin, et classer en utilisant un critère. Cette fois, on obtient plusieurs catégories bien distinctes, n’ayant aucun élément en commun. Ceci doit pouvoir se faire sans ambiguïté : le critère doit être objectif.
Quelques exemples : classer les blocs selon leur couleur (chacun n’en ayant qu’une), des objets selon leur nature, des animaux selon le nombre de pattes, des polygones selon le nombre de côtés; des triangles selon la nature de leurs angles, des polyèdres selon le nombre de faces, …
Si un critère ne suffit pas, on poursuit le classement à l’aide d’un deuxième critère. Ce classement peut facilement se représenter à l’aide d’un tableau dont toutes les cases sont remplies, que l’on retrouve dès l’école maternelle dans des tableaux à double entrée à remplir complètement en utilisant deux critères, les plus fréquents étant la nature de l’objet, sa couleur et le nombre d’objets.
C’est ce que l’on essaye de faire parfois chez soi quand on décide d’organiser son environnement, de « mettre de l’ordre » et de « ranger », termes qui prennent malheureusement un autre sens en mathématique, parce qu’ils utilisent en plus une notion d’ordre.
En effet, il existe un autre type de classement, où les catégories s’emboîtent les unes dans les autres : il s’agit ici d’un classement par inclusion, plus difficile à comprendre. On l’appelle aussi sériation.
Quelques exemples : Parmi les quadrilatères, on trouve les trapèzes. Parmi ceux-ci, on a les parallélogrammes, qui sont des « super trapèzes » ayant une propriété supplémentaire, celle d’avoir deux paires de côtés parallèles. De même, on peut voir les carrés comme des « super rectangles », les triangles équilatéraux comme des « super triangles isocèles », les rectangles comme des super « trapèzes isocèles ». Ceci est perturbant pour de nombreux enfants, pour qui le concept d’inclusion n’est pas intuitif, et parfois malheureusement aussi pour leurs enseignants.
Cette notion d’inclusion est souvent implicite et traduite par les mathématiciens par « Qui peut le plus peut le moins ». Pour démontrer qu’un triangle est équilatéral, on prouve d’abord qu’il est isocèle. Si on a un rectangle, il suffira de prouver par exemple que deux côtés consécutifs sont égaux pour pouvoir dire que c’est un carré.
Quelques idées d’activités à distance
- Pour les plus jeunes, ranger des objets (jouets, vêtements, objets de couleurs différentes, …) en devant progressivement trouver un critère sera déjà une activité intéressante.
- Demander de vérifier si un jeu de cartes est complet et de repérer les cartes manquantes demandera à l’enfant d’organiser les cartes. Cela peut être « Trouver la carte manquante ».
- Le jeu « Set » demande de trouver des ensembles de 3 cartes qui sont soit « toutes pareilles » soit « toutes différentes » pour les différents critères. Chaque jour, un défi en ligne est proposé sur le site https://www.setgame.com/set/puzzle et il s’agit de trouver toutes les solutions possibles.
- Pour en savoir plus sur les classements en mathématique et en biologie, avec une approche plus interdisciplinaire, je vous propose un petit document en ligne http://jeuxmath.be/wp-content/uploads/2012/03/APPROCHES-INTERDISCIPLINAIRES05.pdf
- Avec six formes différentes, construire les fractions suivantes : 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, 1/9, 1/12 et les placer dans un tableau à double entrée. Les 36 pièces construites peuvent ensuite servir pour un jeu de bataille ou un jeu de familles. Il y a plein d’autres jeux à inventer avec ce matériel !
- A l’aide de 6 allumettes de même grandeur placées sans superposition verticalement ou horizontalement, on construit des lignes continues différentes. Les trouver toutes et proposer une façon de les classer. Ceci pourrait être un sujet intéressant à proposer pour le Prix André Parent