Découpage d’une forme géométrique
De nombreux puzzles font partie de la culture mathématique : Tangram classique ou « oeuf magique », Pentaminos, Lokulus, triangle de Dudeney transformable en carré, puzzle Soma à trois dimensions et autres découpages du cube, …
Tous ont en commun le découpage d’un objet géométrique simple en pièces qui sont également des objets géométriques assez simples, à deux ou à trois dimensions.
Pour les plus jeunes, ils peuvent consister en des pièces (souvent colorées) à placer sur un modèle ou à l’aide de celui-ci.
Certains enseignants de maternelle en construisent simplement en découpant un dessin en pièces de forme simple.
Les limites du découpage géométrique
Les découpages géométriques sont à l’origine d’un certain nombre de paradoxes. En effet, des pièces qui semblent s’ajuster comportent parfois de petites erreurs, pratiquement invisibles à l’oeil nu, ce qui donne lieu à des situations où deux figures composées à partir des mêmes pièces ont des aires différentes.
Quelques exemples, le premier avec peu d’informations directes, le second expliqué plus visuellement.
Le puzzle à trois pièces
Nous vous proposons aujourd’hui de réfléchir à partir d’un carré découpé en trois pièces. Pour le construire, tracez un premier segment joignant le milieu d’un côté à un des deux sommets opposés au segment, et ensuite, tracez un deuxième segment perpendiculaire au premier et passant par l’autre sommet opposé.
Une multitude d’activités sont possibles avec les trois pièces du puzzle, à des niveaux très différents :
- Construire successivement, avec les trois pièces, un carré, un parallélogramme, un trapèze isocèle, un rectangle, un triangle rectangle.
- Construire avec les trois pièces un trapèze quelconque, un quadrilatère quelconque.
- Construire un maximum de polygones différents et classer ceux-ci en catégories en justifiant les affirmations (un beau mini-projet de recherche pour le Prix André Parent)
- A partir du rectangle et de sa formule d’aire (base x hauteur), trouver l’aire d’un parallélogramme, d’un triangle rectangle, d’un trapèze (isocèle puis quelconque). Et si on se mettait à plusieurs pour trouver l’aire d’un losange à partir de 4 triangles rectangles identiques ?
- A partir du carré de départ, indiquer comment, avec une ou plusieurs transformations du plan, retrouver les figures citées plus haut.
- Trouver les différentes mesures d’angles et de côtés en les exprimant partir du côté du carré qu’on appellera x.
- Trouver à quel pourcentage (de l’aire) du carré initial correspond (l’aire de) chaque pièce.
Bon amusement !